Question

已知各项均为非负整数的数列A：a，a₁，…，a_n（n∈N^*），满足a=0，a₁+…+a_n=n．若存在最小的正整数k，使得a_k=k（k≥1），则可定义变换T，变换T将数列A变为T（A）：a+1，a₁+1，…，a_k-1+1，0，a_k+1，…，a_n．设A_i+1=T（A_i），i=0，1，2…．
（Ⅰ）若数列A：0，1，1，3，0，0，试写出数列A₅；若数列A₄：4，0，0，0，0，试写出数列A；
（Ⅱ）证明存在数列A，经过有限次T变换，可将数列A变为数列；
（Ⅲ）若数列A经过有限次T变换，可变为数列．设S_m=a_m+a_m+1+…+a_n，m=1，2，…，n，求证，其中表示不超过的最大整数．

Answer

（Ⅰ）根据新定义，首项分别取1，2，3，4，5，从而可写出其余各项；
（Ⅱ）若数列A：a，a1，…，an满足ak=0及ai＞0（0≤i≤k-1），则定义变换T-1，变换T-1将数列A变为数列T-1（A）：a-1，a1-1，…，ak-1-1，k，ak+1，…，an．可验证数列A满足条件；
（Ⅲ）显然ai≤i（i=1，2，…，n），由变换T的定义可知数列A每经过一次变换，Sk的值或者不变，或者减少k，由于数列A经有限次变换T，变为数列n，0，…，0时，有Sm=0，m=1，2，…，n，从而可得Sm=am+Sm+1=am+（m+1）tm+1，0≤am≤m，由此可得结论．
（Ⅰ）【解析】
若A：0，1，1，3，0，0，则A1：1，0，1，3，0，0；A2：2，1，2，0，0，0； A3：3，0，2，0，0，0；A4：4，1，0，0，0，0； A5：5，0，0，0，0，0．
若A4：4，0，0，0，0，则 A3：3，1，0，0，0； A2：2，0，2，0，0； A1：1，1，2，0，0； A：0，0，1，3，0．．…．…（4分）
（Ⅱ）证明：若数列A：a，a1，…，an满足ak=0及ai＞0（0≤i≤k-1），则定义变换T-1，变换T-1将数列A变为数列T-1（A）：a-1，a1-1，…，ak-1-1，k，ak+1，…，an．可得T-1和T是互逆变换．
对于数列n，0，0，…，0连续实施变换T-1（一直不能再作T-1变换为止）得n，0，0，…，0n-1，1，0，…，0n-2，0，2，0，…，0n-3，1，2，0，…，0…a，a1，…，an，
则必有a=0（若a≠0，则还可作变换T-1）．
反过来对a，a1，…，an作有限次变换T，即可还原为数列n，0，0，…，0，因此存在数列A满足条件．…（8分）
（Ⅲ）证明：显然ai≤i（i=1，2，…，n），这是由于若对某个i，，则由变换的定义可知，通过变换，不能变为0．
由变换T的定义可知数列A每经过一次变换，Sk的值或者不变，或者减少k，由于数列A经有限次变换T，变为数列n，0，…，0时，有Sm=0，m=1，2，…，n，
所以Sm=mtm（tm为整数），于是Sm=am+Sm+1=am+（m+1）tm+1，0≤am≤m，
所以am为Sm除以m+1后所得的余数，即．…（13分）