Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，函数f（x）=px³-（p+q）x²+qx+q（其中p、q均为常数，且p＞q＞0），当x=a₁时，函数f（x）取得极小值、点（n，2S_n）（n∈N⁺）均在函数y=2px²-qx+q-f′（x）的图象上．
（1）求a₁的值；   
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer

（1）先对函数f（x）进行求导，令其导数为0求得x，进而根据x变化时f'（x）和f（x）的变化情况确定函数f（x）的极小值．求得a1．
（2）点（n，2Sn）（n∈N+）均在函数y=2px2-qx+q-f′（x）的图象上，可得 2Sn =pn2+pn ①，换元可得 2sn-1=p（n-1）2+p（n-1）②，把①②相减可得 2an=2pn，再由 a1 =1求得数列{an}的通项公式．
【解析】
（1）函数f（x）的定义域为（-∞，+∞），f'（x）=px2-（p+q）x+q，
令f'（x）=0，得x=1或x=．又因为p＞q＞0，故有0＜．
再由f'（x）在x=1的左侧为负、右侧为正，故当x=1时，函数f（x）取得极小值．
再由f'（x）在x=的左侧为正、右侧为负，故当x=时，函数f（x）取得极大值．
由于当x=a1时，函数f（x）取得极小值，故 a1 =1．
（2）函数y=2px2-qx+q-f′（x）=px2+px，
点（n，2Sn）（n∈N+）均在函数y=2px2-qx+q-f′（x）的图象上，
故有 2Sn =pn2+pn ①，故 2sn-1=p（n-1）2+p（n-1），（n＞1 ） ②．
把①②相减可得 2an=2pn，∴an=pn．
再由a1 =1可得 p=1，故an=n．
综上可得，数列{an}的通项公式为 an=n．