Question

在平面直角坐标系中，已知点P（1，-1），过点P作抛物线T：y=x²的切线，其切点分别为M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）（其中x₁＜x₂）．
（Ⅰ）求x₁与x₂的值；
（Ⅱ）若以点P为圆心的圆E与直线MN相切，求圆E的面积；
（Ⅲ）过原点O（0，0）作圆E的两条互相垂直的弦AC，BD，求四边形ABCD面积的最大值．

Answer

（Ⅰ）由y=x2先求出y′=2x．再由直线PM与曲线T相切，且过点P（1，-1），得到，或．同理可得，或，然后由x1＜x2知，．
（Ⅱ）由题意知，x1+x2=2，x1•x2=-1，则直线MN的方程为：2x-y+1=0．再由点P到直线MN的距离即为圆E的半径，可求出圆E的面积．
（Ⅲ）四边形ABCD的面积为，设圆心E到直线AC的距离为d1，垂足为E1，圆心E到直线BD的距离为d2，垂足为E2；
由此可求出四边形ABCD面积的最大值．
【解析】
（Ⅰ）由y=x2可得，y′=2x．（1分）
∵直线PM与曲线T相切，且过点P（1，-1），
∴，即x12-2x1-1=0，
∴，或，（3分）
同理可得：，或（4分）
∵x1＜x2，∴，．（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，x1+x2=2，x1•x2=-1，
则直线MN的斜率，--（6分）
∴直线M的方程为：y-y1=（x1+x2）（x-x1），又y1=x12，
∴y-x12=（x1+x2）x-x12-x1x2，即2x-y+1=0．（7分）
∵点P到直线MN的距离即为圆E的半径，即，（8分）
故圆E的面积为．（9分）
（Ⅲ）四边形ABCD的面积为
不妨设圆心E到直线AC的距离为d1，垂足为E1；
圆心E到直线BD的距离为d2，垂足为E2；
则，（10分）
由于四边形EE1OE2为矩形．且d12+d22=|OE|2=（1-0）2+（-1-0）2=2（11分）
所以
由基本不等式2ab≤a2+b2可得
，
当且仅当d1=d2时等号成立．（14分）
注：（Ⅲ）解法较多，阅卷时可酌情给分．