Question

将圆的中心到直线y=kx的距离记为d=f（k）给出下列判断
①数列{nf（n）}是递增数列
②数列{}的前n项和是
③[-]^-1=1
④＜
其中正确的结论是（ ）
A．①②③④
B．①②③
C．①③
D．①

Answer

利用点到直线的距离公式求出f（k）=，
根据nf（n）=，故数列{nf（n）}是递增数列，故①正确．
根据数列{}的前n项和可化为 1+12+1+22+1+32+…1+n2，运算求出结果，可得②正确．
先化简[-]-1 =，易求得其极限为1，故③正确．
先化简，再利用基本不等式证得此式小于或等于，故④正确．
【解析】
圆的圆心为（0，1），它到直线y=kx的距离d=f（k）=．
∵nf（n）==，故数列{nf（n）}是递增数列，故①正确．
∵=1+n2，故数列{}的前n项和是 1+12+1+22+1+32+…1+n2=n+（1+22+32+…+n2）
=n+=，故②正确．
∵[-]-1 ===，
∴[-]-1= =1，故③正确．

∵==
≤=．
而=，故④正确．
故答案为：①②③④．