Question

设向量=（4cosα，sinα），=（sinβ，4cosβ），=（cosβ，-4sinβ）
（1）若与垂直，求tan（α+β）的值；
（2）若tanαtanβ=16，求证：∥．

Answer

（1）根据题意算出向量的坐标，结合与垂直，得与的数量积为0，由此列出关于α、β的式子，最后用两角和的正、余弦公式合并，化成正切即可得到tan（α+β）的值；
（2）将tanαtanβ=16化成正、余弦的式子，可得sinαsinβ=16cosαcosβ，再结合两个向量平行（共线）的充要条件，可证出∥．
【解析】
（1）∵=（sinβ-2cosβ，4cosβ+8sinβ），且与垂直，
∴4cosα（sinβ-2cosβ）+sinα（4cosβ+8sinβ）=0，…（3分）
即sinαcosβ+cosαsinβ=2（cosαcosβ-sinαsinβ），…（4分）
∴sin（α+β）=2cos（α+β），
两边都除以2cos（α+β），得tan（α+β）=2．…（6分）
（2）∵tanαtanβ=16，
∴•=16，即sinαsinβ=16cosαcosβ，
∵=（4cosα，sinα），=（sinβ，4cosβ），且4cosα•4cosβ=sinα•sinβ…（10分）
∴向量与向量共线，即∥．…（12分）