Question

一个多面体的直观图及三视图如图所示（其中M，N分别是AF、BC的中点）
（1）求证：MN∥平面CDEF；
（2）求二面角A-CF-B的余弦值；
（3）求多面体A-CDEF的体积．

Answer

由三视图知，该多面体是低面为直角三角形的直三棱柱ADE-BCF
（1）连接BE，CE，通过证明MN是△BEC的中位线，得出MN∥CE后，即可证明MN∥平面CDEF；
（2）作BQ⊥CF于Q，连接AQ，可以证明∠AQB为所求二面角的平面角，在RT△ABQ中求解即可．
（3）将多面体A-CDEF的体积分割成2倍的A-CEF，再等体积转化为2VC-AEF计算．
【解析】
由三视图知，该多面体是低面为直角三角形的直三棱柱ADE-BCF，且AB=BC=BF=4，
（1）证明：连接BE，易知BE通过点M，连接CE．
由于EM=BM．CN=BN
所以MN是△BEC的中位线
所以MN∥CE，
又MN⊄CDEF，CE⊂面CDEF 所以MN∥平面CDEF；（4分）
（2）作BQ⊥CF于Q，连接AQ
由已知，易知面BFC⊥面ABFE，
又面ABFE∩面BFC=BF，AB⊂面ABFE，AB⊥BF
根据平面和平面垂直的性质定理得出
AB⊥面BCF，由于CF⊂面BCF 所以AB⊥CF，结合BQ⊥CF，AB∩BQ=B
得出CF⊥面ABQ，AQ⊂面ABQ所以AQ⊥CF，
故∠AQB为所求二面角的平面角．        （6分）
在RT△ABQ中
故所求二面角的余弦值为（9分）
（3）棱锥A-CDEF的体积V=2×VA-CEF=．（14分）