Question

如图，曲线C₁是以原点O为中心，F₁，F₂为焦点的椭圆的一部分，曲线C₂是以O为顶点，F₂（1，0）为焦点的抛物线的一部分，是曲线C₁和C₂的交点．
（I）求曲线C₁和C₂所在的椭圆和抛物线的方程；
（II）过F₂作一条与x轴不垂直的直线，与曲线C₂交于C，D两点，求△CDF₁面积的取值范围．

Answer

（I）先设出抛物线以及椭圆方程，根据F2（1，0）为焦点，求出p=1，得到抛物线方程；再根据（，）在椭圆上，即可求出椭圆方程；
（II）设出直线方程x=my+1，并根据条件求出m的取值范围；再联立直线与抛物线方程，根据韦达定理以及|y1-y2|=求出三角形面积的表达式，最后结合m的取值范围即可求出△CDF1面积的取值范围．
【解析】
（I）设抛物线方程为：y2=2px，由F2（1，0）为焦点，所以p=1．∴y2=4x
设椭圆方程为；代入（，），解得a2=9，
所以椭圆方程为：=1．
（II）设直线方程为：x=my+1，则m∈（-，0）∪（0，）．
由得y2-4my-4=0．
设C（x1，y1），D（x2，y2）
则y1+y2=4m，y1y2=-4．
所以=×2×|y1-y2|==4，因为m2∈（0，）．
∴S△∈（4，）．