Question

已知函数f（x）=lnx+，g（x）=lnx+2x
（I）求函数f（x）的单调区间；
（II）试问过点（2，5）可作多少条直线与曲线y=g（x）相切？请说明理由．

Answer

（I）对函数f（x）求导，当导数f'（x）大于0时可求单调增区间，当导数f'（x）小于0时可求单调减区间．
（II） 先表示出过点（2，5）与曲线y=g（x）相切的直线，进而假设函数，可求得切线的条数．
【解析】
（I） 由题意得，函数的定义域为（0，+∞），=
当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）
当a＞0时，令 f′（x）＞0，x＞a
令 f′（x）＜0，0＜x＜a
故f（x）的单调递增区间为 （a，+∞），单调递减区间为（0，a）
（II） 设切点为（m，n）

∴
∴
令
∴
由导数为0可得，x=2，
∴h（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增 
∴h（x）与x轴有两个交点
∴过点（2，5）可作2条曲线y=g（x）的切线．