Question

如图，在直角坐标系中，中心在原点，焦点在x轴上的椭圆G的离心率为，左顶点为A（-4，0）．圆O′：
（Ⅰ）求椭圆G的方程；
（Ⅱ）过M（0，1）作圆O′的两条切线交椭圆于E、F，判断直线EF与圆的位置关系，并证明．

Answer

（Ⅰ）利用椭圆G的离心率为，左顶点为A（-4，0），建立方程，即可求得椭圆G的方程；
（Ⅱ）直线EF与圆O'的相切．设过点M（0，1）与圆相切的直线方程为：y-1=kx，由圆心到直线的距离等于半径求k的值，与椭圆方程联立，表示出E，F和坐标，从而得到EF所在的直线的方程，再探讨圆心到直线的距离和半径的关系．
【解析】
（Ⅰ）∵椭圆G的离心率为，左顶点为A（-4，0）
∴
∴c=，∴b=1
∴椭圆G的方程为；
（Ⅱ）直线EF与圆O'的相切
设过点M（0，1）与圆O′：相切的直线方程为：y-1=kx①
则，即32k2+36k+5=0②，解得，
把①代入椭圆方程，消去y可得（16k2+1）x2+32kx=0，则异于零的解为x=-
设F（x1，k1x1+1），E（x2，k2x2+1），则x1=-，x2=-
则直线FE的斜率为：kEF==
于是直线FE的方程为：y+-1=（x+）即y=x-
则圆心（2，0）到直线FE的距离d==，故结论成立．