Question

已知函数（1）若函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，求正实数a的取值范围；（2）讨论函数f（x）的单调性；（3）当a=1时，求证：对大于1的任意正整数n，都有．

Answer

（1）函数f（x）在[1，+∞）上为增函数则f'（x）≥0对x∈[1，+∞）恒成立，建立关系式，解之即可；
（2）求出f（x）的导函数，化简整理后，根据a小于0和a大于0，分别讨论导函数的正负即可得到函数的单调区间；
（3）先研究函数f（x）在[1，+∞）上的单调性，令x=，易得＞，然后利用lnn＞++…+ln即可证得结论．
【解析】
（1）∵∴f'（x）=（a＞0）…1
∵函数f（x）在[1，+∞）上为增函数∴f'（x）=≥0对x∈[1，+∞）恒成立
ax-1≥0对x∈[1，+∞）恒成立，即a≥对x∈[1，+∞）恒成立∴a≥1  （4分）
（2）∵a≠0，
当a＜0时，f'（x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立，∴f（x）的增区间为（0，+∞）…5
当a＞0时，，
∴f（x）的增区间为，减区间为（）…6
（3）当a=1时，f（x）=，f'（x）=，故f（x）在[1，+∞）上为增函数．
当n＞1时，令x=，则x＞1，故f（x）＞f（1）=0…8
∴f（）=+=-+＞0，即＞
∴lnn＞++…+ln＞+++…+