Question

已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x-4）=-f（x），且x∈[0，2]时，f（x）=log₂（x+1），则下列说法正确的是（ ）
A．f（3）=1
B．函数f（x）在[-6，-2]上是增函数
C．函数f（x）x=4关于直线对称
D．若关于x的方程f（x）-m=0在[-8，8]上所有根之和为-8，则一定有m∈（0，1）

Answer

取x=1，得f（3）=-f（-3）=1；f（x-4）=f（-x），则f（x-2）=f（-x-2），利用函数f（x）关于直线x=-2对称，可得函数f（x）在[-6，-2]上是减函数；若m∈（0，1），则关于x的方程f（x）-m=0中两根的和为-6×2=-12，另两根的和为2×2=4，反之不一定成立．故可得结论．
【解析】
取x=1，得f（1-4）=-f（1）=-log2（1+1）=-1，所以f（3）=-f（-3）=1，故A正确；
奇函数f（x），x∈[0，2]时，f（x）=log2（x+1），
∴x∈[-2，2]时，函数为单调增函数，
∵函数f（x）关于直线x=-2对称，
∴函数f（x）在[-6，-2]上是减函数，故B不正确；
定义在R上的奇函数f（x）满足f（x-4）=-f（x），
则f（x-4）=f（-x），
∴f（x-2）=f（-x-2），
∴函数f（x）关于直线x=-2对称，故C不正确；
若m∈（0，1），则关于x的方程f（x）-m=0在[-8，8]上有4个根，
其中两根的和为-6×2=-12，另两根的和为2×2=4，所以所有根之和为-8．
反之，不一定成立，故D不正确．
故选A．