Question

如图，已知椭圆内有一点M，过M作两条动直线AC、BD分别交椭圆于A、C和B、D两点，若．

（1）证明：AC⊥BD；
（2）若M点恰好为椭圆中心O
（i）四边形ABCD是否存在内切圆？若存在，求其内切圆方程；若不存在，请说明理由．
（ii）求弦AB长的最小值．

Answer

（1）设出点的坐标，利用，即可证得，从而AC⊥BD；
（2）（i）根据AC⊥BD，由椭圆对称性知AC与BD互相平分，所以四边形ABCD是菱形，它存在内切圆，设直线AB方程为：y=kx+m，利用圆心到直线的距离，可得；联立 ，利用OA⊥OB，可得，从而可求内切圆的方程；
（ii）求出弦AB的长=，令3m2-1=t，则，所以根据，即可求得弦AB长的最小值．
（1）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）
由知
展开整理得：x1x2+y1y2+x3x4+y3y4=x2x3+y2y3+x1x4+y1y4
即x1（x2-x4）+x3（x4-x2）+y1（y2-y4）+y3（y4-y2）=0
∴（x1-x3）（x2-x4）+（y1-y3）（y2-y4）=0
即，
∴AC⊥BD…．（4分）
（2）【解析】
（i）∵AC⊥BD，由椭圆对称性知AC与BD互相平分，
∴四边形ABCD是菱形，它存在内切圆，圆心为O，设半径为r，直线AB方程为：y=kx+m
则，即①
联立 得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0
∴
由（1）知OA⊥OB，
∴x1x2+y1y2=0，即x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0
∴
∴
∴2m2-2+2m2k2-2k2-4k2m2+m2+2m2k2=0
∴②
②代入①有：
∴存在内切圆，其方程为：…．（9分）
容易验证，当k不存在时，上述结论仍成立．
（ii）
∵
∴=
令3m2-1=t，则
∴
∵，∴，故t≥1，∴
当时，，此时
容易验证，当k不存在时，…．（13分）