Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，且AC=BC=CC₁=2，M是AB₁，A₁B的交点，N是B₁C₁的中点．
（Ⅰ）求证：MN⊥平面A₁BC；
（Ⅱ）求平面AA₁B与平面A₁BC夹角的大小．

Answer

（Ⅰ）以C为原点，分别以CB、CC1、CA为x、y、z轴建立坐标系，用坐标表示点与向量、、，可得MN⊥A1B，MN⊥CB，从而可得MN⊥平面A1BC；                
（Ⅱ）作CH⊥AB于H点，则平面A1BA的一个法向量为，平面A1BC的一个法向量为，利用向量的夹角公式，即可求得平面AA1B与平面A1BC夹角．
（Ⅰ）证明：以C为原点，分别以CB、CC1、CA为x、y、z轴建立坐标系，则由AC=BC=CC1=2，知A1（0，2，2），B1（2，2，0），B（2，0，0），C1（0，2，0），∴M（1，1，1），N（1，2，0），
∴=（2．-2，-2），=（2，0，0），=（0，1，-1），…（3分）
∴，，
∴MN⊥A1B，MN⊥CB，∴MN⊥平面A1BC；                 …（6分）
（Ⅱ）作CH⊥AB于H点，∵平面ABC⊥平面ABB1A1，∴CH⊥平面A1BA，
故平面A1BA的一个法向量为，
而平面A1BC的一个法向量为，…（9分）
∴cos=||=
∵，
∴平面AA1B与平面A1BC夹角的大小为．…（12分）