Question

已知椭圆C₁，抛物线C₂的焦点均在x轴上，C₁的中心和C₂的顶点均为原点O，从每条曲线上各取两点，将其坐标记录于下表中：

x	3	-2	4
y	-2		-4

（Ⅰ）求C₁、C₂的标准方程；
（Ⅱ）若过曲线C₁的右焦点F₂的任意一条直线与曲线C₁相交于A、B两点，试证明在x轴上存在一定点P，使得的值是常数．

Answer

（Ⅰ）验证4个点知（3，-2），（4，-4）在抛物线上，（-2，0），（，）在椭圆上，由此可求C1、C2的标准方程；
（Ⅱ）分类讨论，利用=（xA-t）（xB-t）+yAyB，即可求得结论．
【解析】
（Ⅰ）设抛物线C2：y2=2px（p≠0），则有，
据此验证4个点知（3，-2），（4，-4）在抛物线上，∴C2的标准方程为y2=4x．…（2分）
设C1：，把点（-2，0），（，）代入得：，解得．
∴C1的标准方程为．…（6分）
（Ⅱ）①当直线AB不与x轴垂直时，设其方程为y=k（x-），代入椭圆方程，消去y可得（1+4k2）x2-8k2x+12k2-4=0，则
xA+xB=，xAxB=．…（8分）
设点P（t，0），则=（xA-t）（xB-t）+yAyB=．…（10分）
当，即时，对任意k∈R，=-．…（12分）
②当AB⊥x轴时，直线AB的方程为x=，xA=xB=，yAyB=-．
若，则=（xA-t）（xB-t）+yAyB=
故存在x轴上的点P（），使得的值是常数．…（13分）