Question

设函数f（x）=ln（x+a）-x²．
（Ⅰ）当a=0时，求f（x）在（0，e]上的最大值；
（Ⅱ）若f（x）在区间[1，2]上为减函数，求a的取值范围；
（Ⅲ）是否存在实数a，使直线y=x为函数f（x）的图象的一条切线，若存在，求a的值；否则，说明理由．

Answer

（Ⅰ）当a=0时，f（x）=lnx-x2，x＞0，则，利用导数的正负，确定函数的单调性，从而可求f（x）在（0，e]上的最大值；
（Ⅱ）f（x）在区间[1，2]上为减函数，则x∈[1，2]有x+a＞0恒成立，且x∈[1，2]，f′（x）=≤0恒成立，分离参数，即可求a的取值范围；
（Ⅲ）设切点为P（x，y），利用直线y=x为函数f（x）的图象的一条切线，可得f′（x）=1，f（x）=x，由此可求得结论．
【解析】
（Ⅰ）当a=0时，f（x）=lnx-x2，x＞0，则
令f′（x）＞0，可得0＜x＜，∴f（x）在（0，）上为增函数，
同理可得f（x）在（，+∞）上为减函数
∴当x∈（0，e]时，f（x）最大值为f（）=ln-
（Ⅱ）∵f（x）=ln（x+a）-x2，∴x∈[1，2]有x+a＞0恒成立，∴a＞-1
∵f（x）在区间[1，2]上为减函数，∴x∈[1，2]，f′（x）=≤0恒成立
∴a≥，
而在[1，2]为减函数，∴a≥，
又a＞-1，故a≥为所求；
（Ⅲ）存在a=1，使直线y=x为函数f（x）的图象的一条切线．理由如下：
设切点为P（x，y），则
∵f′（x）=1，∴，∴
∵f（x）=x，∴，∴
∴
令h（x）=x+x2+ln（1+2x）（x＞-），∴h′（x）=1+2x+＞0 
∴h（x）为增函数，
又h（0）=0，∴h（x）=0
∴x=0
∴a=1．