Question

把正方形AA₁B₁B以边AA₁所在直线为轴旋转90到正方形AA₁C₁C，其中D，E，F分别为B₁A，C₁C，BC的中点．
（1）求证：DE∥平面ABC；
（2）求证：B₁F⊥平面AEF；
（3）求二面角A-EB₁-F的大小．

Answer

（1）取AB的中点为G，连接DG，CG；根据条件可以得到CEDG是平行四边形即可得到结论；
（2）直接把问题转化为证明AF⊥B1F以及B1F⊥EF；
（3）先建立空间直角坐标系，求出两个半平面的法向量，再代入向量的夹角计算公式即可．
（本小题满分12分）
【解析】
（1）设AB的中点为G，连接DG，CG
∵D是A1B的中点
∴DG∥A1A且DG=…（2分）
∵E是C1C的中点
∴CE∥A1A且CE=，
∴CE∥DG且CE=DG
∴CEDG是平行四边形，
∴DE∥GC
∵DE⊄平面ABC，GC⊂平面ABC，
∴DE∥平面ABC…（4分）
（2）∵△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且F是BC的中点
∴AF⊥BC
∵平面ABC⊥平面BCC1B1
∴AF⊥平面BCC1B1
∴AF⊥B1F…（6分）
设AB=AA1=2，则在B1FE中，，
则，B1E=3
∴
∴△B1FE是直角三角形，
∴B1F⊥EF
∵AF∩EF=F
∴B1F⊥平面AEF…（8分）
（3）分别以AB，AC，AA1为x，y，z轴建立空间直角
坐标系A-xyz如图，
设AB=AA1=2，则
设A（0，0，0），B1（2，0，2），E（0，2，1），F（1，1，0），D（1，0，1）…（9分）
∵AF⊥平面BCC1B1，
∴面B1FE的法向量为=（1，1，0），…（10分）
设平面AB1E的法向量为，
∵，
∴，，
∴2y+z=0，，x+z=0，
不妨设z=-2，可得…（11分）
∴=
∵二面角A-EB1-F是锐角，
∴二面角A-EB1-F的大小45°…（12分）