Question

抛物线C：x²=2py（p＞0）上一点P（m，4）到其焦点的距离为5．
（I）求p与m的值；
（II）若直线l：y=kx-1与抛物线C相交于A、B两点，l₁、l₂分别是该抛物线在A、B两点处的切线，M、N分别是l₁、l₂与该抛物线的准线交点，求证：．

Answer

（1）根据抛物线的定义利用点P（m，4）到其焦点的距离求得p，抛物线方程可得，进而把点P代入求得m．
（2）把直线与抛物线方程联立根据判别式大于0求得k的范围．设A（x′1，y1），B（x′2，y2），根据韦达定理可得到x′1+x2和x1x2的表达式，对抛物线方程进行求导得到抛物线在A处的切线的方程，令y=-1代入求得M点的横坐标，同理可求得N点的横标做，进而根据x1x2=4，求得M点横坐标和N点横坐标的关系，表示出，根据x′1+x2和y′1+y2求得的表达式，根据k的范围证明原式．
【解析】
（I）根据抛物线定义，，解得p=2
∴抛物线方程为x2=4y，
将P（m，4）代入x2=4y，解得m=±4
（II）l：y=kx-1代入x2=4y得x2-4kx+4=0，①
△=16k2-16＞0，k2＞1，k∈（-∞，-1）∪（1，+∞），
设A（x′1，y1），B（x′2，y2），则x′1+x2=4k，x1x2=4
由，
所以抛物线在A处的切线l1的方程为，
即．
令y=-1，得．
同理，得．x1、x2是方程①的两个实根，故x1x2=4，即，
从而有
，，
∵x′1+x2=4k，y′1+y2=k（x′1+x2）-2=4k2-2
∴，
∵k2＞1，∴，
即．