Question

选修4-5：不等式选讲
已知|x-2y|=5，求证：x²+y²≥5．

Answer

根据柯西不等式，得5（x2+y2）≥|x-2y|2，结合已知等式|x-2y|=5，得x2+y2≥5，再利用不等式取等号的条件加以检验即可．
【解析】
由柯西不等式，得（x2+y2）[12+（-2）2]≥（x-2y）2
即5（x2+y2）≥（x-2y）2=|x-2y|2
∵|x-2y|=5，
∴5（x2+y2）≥25，化简得x2+y2≥5．
当且仅当2x=-y时，即x=-1，y=2时，x2+y2的最小值为5
∴不等式x2+y2≥5成立．