Question

对于函数f（x）=sinx+cosx，给出下列四个命题：
①存在，使； 
②存在，使f（x+α）=f（x+3α）恒成立； 
③存在φ∈R，使函数f（x+ϕ）的图象关于y轴对称；
④函数f（x）的图象关于点对称； 
⑤若，则．
其中正确命题的序号是    ．

Answer

利用特殊角的三角函数值及两角和与差的正弦函数公式，化简函数y=sinx+cosx为 sin（x+），确定函数的值域，判断①的真假； 找出特殊值判断②；根据函数的对称轴判断③的真假；将 （π，0）代入函数解析式成立，说明④正确．⑤若，则有 （x+）∈，可得 ，故⑤正确．
【解析】
函数y=sinx+cosx=sin（x+），①α∈（0，）时 y∈（1，]，因为 ∈（1，]，所以为真命题；
②f（x+α）=f（x+3α）说明2α是函数的周期，函数f（x）的周期为2π，故α=π，显然为假命题；
③存在θ∈R使函数f（x+θ）的图象关于y轴对称，
函数f（x）是周期函数，并且有对称轴，适当平移即可满足题意，为真命题；
④函数f（x）的图象关于点 （π，0）对称，当x=时，f（ ）=0，满足题意，为真命题，
⑤若，则有 （x+）∈，∴，故⑤为真命题，
故答案为 ①③④⑤．