Question

如图直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=CC₁=2，AB=BC，D是BA₁上一点，且AD⊥平面A₁BC．
（1）求证：BC⊥平面ABB₁A₁；
（2）求三棱锥A-BCD的体积．

Answer

（I）由直三棱柱的性质，可得AA1⊥BC，由AD⊥平面A1BC，得AD⊥BC，结合线面垂直的判定定理，可得BC⊥平面ABB1A1．
（II）由（I）得BC⊥AB，结合已知条件得△ABC是斜边AC=2的等腰直角三角形，然后在Rt△AA1B中，算出斜边上的高AD的长，根据射影定理算出BD的长，从而得到三角形BCD的面积，最后用锥体体积公式，可以算出三棱锥A-BCD的体积，即得三棱锥A-BCD的体积．
证明：（Ⅰ）∵AD⊥平面A1BC，BC⊆平面A1BC，∴AD⊥BC．
∵ABC-A1B1C1是直三棱柱，
∴AA1⊥平面ABC，可得AA1⊥BC．…（3分）
∵AD∩AA1=A，AD、AA1⊆平面ABB1A1，
∴BC⊥平面ABB1A1．…（6分）
（Ⅱ）∵BC⊥平面ABB1A1，∴BC⊥AB．
∵AB=BC，∴△ABC是等腰直角三角形，且斜边AC=2，AB=BC=，
∴直角三角形AA1B斜边上的高，
根据射影定理，得
∴三棱锥A-BCD的体积VA-BCD=VB-ACD=S△ACD×BD=וAD•DC•BD=…（12分）