Question

已知各项全不为零的数列{a_k}的前k项和为S_k，且S_k=N*），其中a₁=1．
（Ⅰ）求数列{a_k}的通项公式；
（Ⅱ）对任意给定的正整数n（n≥2），数列{b_k}满足（k=1，2，…，n-1），b₁=1，求b₁+b₂+…+b_n

Answer

（Ⅰ）由，得ak（ak+1-ak-1）=2ak．再由ak+1-ak-1=2．知a2m-1=1+（m-1）•2=2m-1．a2m=2+（m-1）•2=2m，m∈N*．由此可知ak=k（k∈N*）．

（Ⅱ）由题意知=．由此可求出b1+b2+b3++bn的值．
【解析】
（Ⅰ）当k=1，由及a1=1，得a2=2．
当k≥2时，由，得ak（ak+1-ak-1）=2ak．
因为ak≠0，所以ak+1-ak-1=2．从而a2m-1=1+（m-1）•2=2m-1．a2m=2+（m-1）•2=2m，m∈N*．
故ak=k（k∈N*）．

（Ⅱ）因为ak=k，所以．
所以=．
故b1+b2+b3++bn==．