Question

如图，两矩形ABCD、ABEF所在平面互相垂直，DE与平面ABCD及平面所成角分别为30°、45°，M、N分别为DE与DB的中点，且MN=1．
（Ⅰ）求证：MN⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求线段AB的长．

Answer

（Ⅰ） 先证明 EB⊥平面ABCD，由三角形的中位线的性质可得MN∥EB，故MN⊥面ABCD．
（Ⅱ）利用直角三角形中的边角关系求得DE，进而求得AE，在Rt△ABE中，由勾股定理求得AB的长．
（Ⅰ）证明：∵平面ABCD⊥平面ABEF，且平面ABCD∩平面ABEF=AB，EB⊥AB，
∴EB⊥平面ABCD，
又MN∥EB，∴MN⊥面ABCD．
（Ⅱ）【解析】
由（Ⅰ）可知∠EDB为DE与平面ABCD所成的角，∴∠EDB=30°．
又在Rt△EBD中，EB=2MN=2，∠EBD=90°∴DE==4
连接AE，可知∠DEA为DE与平面ABEF所成的角，∴∠DEA=45°．
在Rt△DAE中，∠DAE=90°，
∴AE=DE•cos∠DEA=2
在Rt△ABE中，AB===2．