Question

如图，已知棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，且AA₁⊥面ABCD，∠DAB=60°，AD=AA₁=1，F为棱AA₁的中点，M为线段BD₁的中点．
（Ⅰ）求证：MF∥面ABCD；
（Ⅱ）判断直线MF与平面BDD₁B₁的位置关系，并证明你的结论；
（Ⅲ）求三棱锥D₁-BDF的体积．

Answer

（Ⅰ）连接AC、BD交于点O，再连接OM，利用三角形中位线定理结合平行四边形的性质，得四边形MOAF是平行四边形，从而MF∥OA，所以MF∥平面ABCD；
（II）菱形的对角线互相垂直，得AC⊥BD，由BB1⊥平面ABCD，得AC⊥BB1，所以AC⊥平面BDD1B1，再结合AC∥MF，得AC⊥平面BDD1B1；
（III）过点B作BH⊥AD于H，可证出BH⊥平面BDD1B1，从而BH是三棱锥B-DD1F的高，算出△DD1F的面积并结合锥体体积公式，可得三棱锥D1-BDF的体积．
【解析】
（Ⅰ）连接AC、BD交于点O，再连接OM，
∵△BD1D中，OM是中位线，∴OM∥D1D且OM=D1D，
∵矩形AA1D1D中，AF∥D1D且AF=D1D，
∴AF∥OM且AF=OM，可得四边形MOAF是平行四边形，
∴MF∥OA，
∵MF⊈平面ABCD，OA⊆平面ABCD，
∴MF∥平面ABCD；------（4分）
（Ⅱ）AC⊥平面BDD1B1，证明如下
在底面菱形ABCD中，AC⊥BD，
又∵BB1⊥平面ABCD，AC⊆平面ABCD
∴AC⊥BB1，
∵BB1、BD是平面BDD1B1内的相交直线
∴AC⊥平面BDD1B1，
∵AC∥MF，∴AC⊥平面BDD1B1，------------（8分）
（Ⅲ）过点B作BH⊥AD，垂足为H，
∵AA1⊥平面ABCD，BH⊆平面ABCD
∴BH⊥AA1，
∵AD、AA1是平面BDD1B1内的相交直线
∴BH⊥平面BDD1B1，
在Rt△ABH中，∠DAB=60°，AB=1，
∴BH=ABsin60°=，
因此，三棱锥D1-BDF的体积V=VB-D1DF=S△DD1F•BH=××1×1×=--------（12分）