Question

已知定义域为{x|x≠0}的函数f（x）为偶函数，且f（x）在区间（-∞，0）上是增函数，若的解集为（ ）
A．（-3，0）∪（0，3）
B．（-∞，-3）
C．（-∞，-3）∪（3，+∞）
D．（-3，0）∪（3，+∞）

Answer

本题考查的是函数奇偶性与单调性的综合类问题．在解答时应充分利用函数性质进行画图，∵f（-3）=0，∴函数图象过点（-3，0），又f（x）在区间（-∞，0）上是增函数且函数f（x）为偶函数，所以f（x）在区间（0，+∞）上是减函数，从而获得函数的草图，结合草图对x分大于零和小于零两种情况讨论即可获得问题的解答．
【解析】
由题意可知：f（-3）=0，
∴函数图象过点（-3，0），
又f（x）在区间（-∞，0）上是增函数且函数f（x）为偶函数，所以f（x）在区间（0，+∞）上是减函数．
∴函数f（x）的图象如图：
由图象：
当x＜0时，f（x）＞0，∴此时-3＜x＜0；
当x＞0时，f（x）＜0，∴此时x＞3．
综上可知：不等式的解集为：（-3，0）∪（3，+∞）．
故选D．