Question

已知过点A（0，1）的直线l，斜率为k，与圆C：（x-2）²+（y-3）²=1相交于M、N两个不同点．
（1）求实数k取值范围；
（2）若O为坐标原点，且，求k的值．

Answer

（1）设直线l方程为：y=kx+1，与圆C的方程消去y得关于x的一元二次方程，利用根的判别式建立关于k的不等式，解之即得实数k取值范围；
（2）由向量数量积的坐标公式，结合一元二次方程根与系数的关系，建立关于k的方程，解之即得实数k的值．
【解析】
（1）由题意，设直线l方程为y=kx+1，
与圆C的方程消去y，得（1+k2）x2-4（1+k）x+7=0…（*）
∵直线l与圆C相交于M、N两个不同点．
∴△=16（1+k）2-28（1+k2）＞0，解此不等式得…（6分）
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），
根据（1）的（*），得x1+x2=，x1x2=
∵=x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+1
∴即（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+1=
解之得k=1，符合，得k的值为1．   …（12分）