已知椭圆的离心率为e=，且过点（）（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l：y=k...

已知椭圆

的离心率为e=

，且过点（

）
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx+m（k≠0，m＞0）与椭圆交于P，Q两点，且以PQ为对角线的菱形的一顶点为（-1，0），求：△OPQ面积的最大值及此时直线l的方程．

（Ⅰ）根据e=，可得b2=，故所求椭圆为，把点（）代入椭圆的方程可得a2=4，从而得到椭圆的方程．（Ⅱ）将直线y=kx+m与联立，得到 4k2+1-m2＞0 ①，由中点公式及=，得到整理得3km=4k2+1 ②，由①②可得k2＞，又 S△OPQ为，故当= 时，△OPQ 的面积取最大值1，此时k=，m=，从而得到l的方程．【解析】（Ⅰ）∵e=，∴c=a，∴b2=a2-c2=，故所求椭圆为：．又椭圆过点（），∴，∴a2=4，b2=1， ∴．（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点为（x，y）将直线y=kx+m与联立得（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0， ∵△=16（4k2+1-m2 ）＞0，即 4k2+1-m2＞0 ①，又x==，y==，又点[-1，0]不在椭圆OE上．依题意有 =，整理得3km=4k2+1 ②．由①②可得k2＞， ∵m＞0，∴k＞0，∴k＞，设O到直线l的距离为d，则S△OPQ== ==．当 = 时，△OPQ 的面积取最大值1，此时k=，m=， ∴直线方程为 y=x+．

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考点分析：

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