Question

在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且向量=（sinA，cosA），=（cosC，sinC），且．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若△ABC的面积是，且a+c=5，求b．

Answer

（1）由数量积的坐标公式，结合两角和的正弦公式和二倍角正弦公式列式并化简，得sin（A+C）=2sinBcosB，再由sin（A+C）=sinB在等式两边约去sinB可得cosB=，结合三角形内角取值范围，可得角B的大小；
（2）根据正弦定理的面积公式，结合题中的数据算出ac=3，再配方得到a2+c2=19，最后利用余弦定理算出b2的值，即可得边b的值．
【解析】
（1）∵=sinAcosC+cosAsinC=sin2B，且sin2B=2sinBcosB
∴sin（A+C）=2sinBcosB，即sin（π-B）=2sinBcosB，
∵sin（π-B）=sinB，且sinB是正数，∴cosB=，
∵B∈（0，π），∴B=
（2）由正弦定理，得S△ABC=acsinB=
∵B=，得sinB=，∴ac=3
又∵a+c=5，∴a2+c2=（a+c）2-2ac=25-6=19
根据余弦定理，得：
b2=a2+c2-2accosB=19-2×3×=16
∴b=4（舍负）