Question

已知函数f（x）=e^x，若函数g（x）满足f（x）≥g（x）恒成立，则称g（x）为函数f（x）的下界函数．
（Ⅰ）若函数g（x）-kx是f（x）的下界函数，求实数k的取值范围；
（Ⅱ）证明：对于∀m≤2，，函数h（x）=m+lnx都是f（x）的下界函数．

Answer

（Ⅰ）若函数g（x）=kx是f（x）的下界函数，则k＜0不成立而k=0必然成立；当k＞0时，若g（x）=kx是f（x）的下界函数，则f（x）≥g（x）恒成立，即ex-kx≥0恒成立．构造函数h（x）=ex-kx，求得h（x）min≥0，即可求得实数k的取值范围；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知函数G（x）=ex是f（x）=ex的下界函数，证明h（x）=m+lnx是G（x）=ex的下界函数，即可得到结论．
（Ⅰ）【解析】
若函数g（x）=kx是f（x）的下界函数，则k＜0不成立而k=0必然成立．----（2分）
当k＞0时，若g（x）=kx是f（x）的下界函数，则f（x）≥g（x）恒成立，即ex-kx≥0恒成立．
令h（x）=ex-kx，则h′（x）=ex-k．
令h′（x）＜0，则x＜lnk，h′（x）＞0，则x＞lnk，
∴函数h（x）在（-∞，lnk）单调递减，（lnk，+∞）上单调递增．----（4分）
由h（x）≥0得h（x）min=h（lnk）=k-klnk≥0，解得0＜k≤e．
综上：0≤k≤e．----（6分）
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知函数G（x）=ex是f（x）=ex的下界函数．即f（x）≥G（x）恒成立----（8分）
若m≤2，构造函数F（x）=ex-lnx-m（x＞0），则F′（x）=
令F′（x）＜0，则x＜，F′（x）＞0，则x＞，
∴函数h（x）在（-∞，）单调递减，（，+∞）上单调递增．
∴F（x）min=F（）=2-m≥0----（10分）
即h（x）=m+lnx是G（x）=ex的下界函数，即G（x）≥h（x）恒成立．
所以，f（x）≥G（x）≥h（x）恒成立，即h（x）=m+lnx是f（x）=ex的下界函数．----（12分）