Question

已知f（x）=m^x（m为常数，m＞0且m≠1）．设f（a₁），f（a₂），…f（a_n）…（n∈N^*）是首项为m²，公比为m的等比数列．
（1）求证：数列{a_n}是等差数列；
（2）若b_n=a_n•f（a_n），且数列{b_n}的前n项和为S_n，当m=2时，求S_n；
（3）若c_n=f（a_n）•lgf（a_n），问是否存在m，使得数列{c_n}中每一项恒小于它后面的项？若存在，求出m的范围；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据等比数列的通项公式，可得f（an）=m2•mn-1=mn+1，从而可得an=n+1，进而可证数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列；
（2）当m=2时，bn=（n+1）•2n+1，利用错位相减法可求数列的和；
（3）求出数列{cn}的通项，要使cn＜cn+1对一切n∈N*成立，即（n+1）•mn+1•lgm＜（n+2）•mn+2•lgm，对一切n∈N*成立，对m进行分类讨论，即可求得m的取值范围．
（1）证明：由题意，f（an）=m2•mn-1=mn+1，即．
∴an=n+1，（2分）
∴an+1-an=1，∴数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列．（4分）
（2）【解析】
由题意bn=an•f（an）=（n+1）•mn+1，
当m=2时，bn=（n+1）•2n+1
∴Sn=2•22+3•23+4•24+…+（n+1）•2n+1 ①（6分）
①式两端同乘以2，得
2Sn=2•23+3•24+4•25+…+n•2n+1+（n+1）•2n+2 ②
②-①并整理，得
Sn=-2•22-23-24-25-…-2n+1+（n+1）•2n+2
=-22-（22+23+24+…+2n+1）+（n+1）•2n+2
=-22-+（n+1）•2n+2
=-22+22（1-2n）+（n+1）•2n+2=2n+2•n．（9分）
（3）【解析】
由题意cn=f（an）•lgf（an）=mn+1•lgmn+1=（n+1）•mn+1•lgm，
要使cn＜cn+1对一切n∈N*成立，
即（n+1）•mn+1•lgm＜（n+2）•mn+2•lgm，对一切n∈N*成立，
①当m＞1时，lgm＞0，所以n+1＜m（n+2）对一切n∈N*恒成立；（11分）
②当0＜m＜1时，lgm＜0，所以等价使得＞m对一切n∈N*成立，
因为=1-的最小值为，所以0＜m＜．
综上，当0＜m＜或m＞1时，数列{cn}中每一项恒小于它后面的项．（14分）