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已知函数f(x)=(ax2+bx+c)e-x(a≠0)的图象过点(0,-2),且...

已知函数f(x)=(ax2+bx+c)e-x(a≠0)的图象过点(0,-2),且在该点的切线方程为4x-y-2=0.
(Ⅰ)若f(x)在[2,+∞)上为单调增函数,求实数a的取值范围;
(Ⅱ)若函数F(x)=f(x)-m恰好有一个零点,求实数m的取值范围.
(Ⅰ)由f(0)=-2,可得c的值,求导函数,利用切线方程可得b=的值,根据f(x)在[2,+∞)上为单调增函数,可得(-ax-2)(x-2)e-x≥0在[2,+∞)上恒成立,由此可求实数a的取值范围; (Ⅱ)函数F(x)=f(x)-m恰好有一个零点,即y=m和y=f(x)恰好有一个交点,求导函数,再进行分类讨论:①当a>0时,f(x)在区间(-∞,-),(2,+∞)单调递减,在上单调递增;②当a<0时:(ⅰ)当>2,即-1<a<0时,f(x)在区间(-∞,2),(,+∞)单调递增,在(2,)上单调递减;(ⅱ)当2时,即a<-1 时,f(x)在区间(-∞,),(2,+∞)单调递增,在(,2)上单调递减;(ⅲ)=2时,即a=-1时,f(x)在R上单调增,从而可得结论. 【解析】 (Ⅰ)由f(0)=-2,可得c=-2…(1分) 求导函数可得f′(x)=(-ax2+2ax-bx+b-c)e-x,∴f′(0)=(b-c)e=b-c ∵切线方程为4x-y-2=0,∴b-c=4,∴b=2…(3分) ∴f(x)=(ax2+2x-2)e-x,f′(x)=(-ax-2)(x-2)e-x, ∵f(x)在[2,+∞)上为单调增函数, ∴(-ax-2)(x-2)e-x≥0在[2,+∞)上恒成立 即-ax-2≥0,∴a≤-,∴a≤-1 …(5分) (Ⅱ)函数F(x)=f(x)-m恰好有一个零点,即y=m和y=f(x)恰好有一个交点 ∵f′(x)=(-ax-2)(x-2)e-x, ①当a>0时,f(x)在区间(-∞,-),(2,+∞)单调递减,在上单调递增,极大值为f(2)=(4a+2)e-2,极小值为f()=-2,(当x趋向于+∞时图象在x轴上方,并且无限接近于x轴) 所以m=或m>(4a+2)e-2,…(8分) ②当a<0时:(ⅰ)当>2,即-1<a<0时,f(x)在区间(-∞,2),(,+∞)单调递增,在(2,)上单调递减,极大值f(2)=(4a+2)e-2,极小值为f()=-2,(当x趋向于+∞时图象在x轴下方,并且无限接近于x轴) 当(4a+2)e-2≥0,即时,m=(4a+2)e-2或m< 当(4a+2)e-2<0,即-1<a<时,(4a+2)e-2<m<0或m<…(11分) (ⅱ)当2时,即a<-1 时,f(x)在区间(-∞,),(2,+∞)单调递增,在(,2)上单调递减,极小值为f(2)=(4a+2)e-2,极大值为f()=-2,(当x趋向于+∞时图象在x轴下方,并且无限接近于x轴) ∴m=或m<(4a+2)e-2,…(13分) (ⅲ)=2时,即a=-1时,f(x)在R上单调增(当x趋向于+∞时图象在x轴下方,并且无限接近于x轴),此时m<0 …(14分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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