Question

已知函数f（x）=sinx+cosx
（I）若，求sin2x的值；
（II）求函数F（x）=f（x）•f（-x）+f²（x）的最大值与单调递增区间．

Answer

（I）由题意可得sinx+cosx=，则平方可得sin2x的值．
（II）利用二倍角公式求得 函数F（x）=sin（2x+）+1，由此求得最大值，令 2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈z，求出x的范围，即可得到函数F（x）的单调递增区间．
【解析】
（I）若，即 sinx+cosx=，则平方可得  1+sin2x=，sin2x=．
（II）∵函数F（x）=f（x）•f（-x）+f2（x）=（cosx+sinx）（cosx-sinx）+1+sin2x=cos2x+sin2x+1=sin（2x+）+1，
故函数F（x）的最大值为 ．
令 2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈z，可得  kπ-≤x≤kπ+，k∈z，
故函数F（x）的单调递增区间为[kπ-，kπ+]，k∈z．