Question

如图：C、D是以AB为直径的圆上两点，AB=2AD=2，AC=BC，F是AB上一点，且AF=AB，将圆沿直径AB折起，使点C在平面ABD的射影E在BD上．

（I）求证平面ACD⊥平面BCD；
（II）求证：AD∥平面CEF．

Answer

（I）根据直径所对的圆周角为直角，得到AD⊥BD，结合CE⊥平面ADB得AD⊥CE，所以AD⊥平面BCD，最后根据面面垂直的判定定理，可得平面ACD⊥平面BCD；
（II）直角三角形BCD中，根据Rt△CED∽Rt△BCD，得CD2=BD•DE，结合CD、BD的长算出DE的长，从而得到DE：DB=AF：AB，所以AD∥EF，结合线面平行的判定定理，可得AD∥平面CEF．
【解析】
（I）∵AB是圆的直径，∴AD⊥BD
∵点C在平面ABD的射影E在BD上，即CE⊥平面ADB
∴结合AD⊂平面ADB，得AD⊥CE
∵BD、CE是平面BCD内的相交直线
∴AD⊥平面BCD
∵AD⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面BCD；
（II）Rt△ABD中，AB=2AD=2，可得BD==3
等腰Rt△ABC中，AB=2，∴AC=BC=AB=
∵AD⊥平面BCD，CD⊆平面BCD，∴AD⊥CD
Rt△ADC中，CD==，
∵Rt△BCD中，CE是斜边BD上的高
∴Rt△CED∽Rt△BCD，得=，
因此，CD2=BD•DE，即3=3•DE，得DE=1
∴△ABD中，，可得EF∥AD
∵AD⊈平面CEF，EF⊂平面CEF
∴AD∥平面CEF