Question

设数列{a_n}满足a₁=1，a₂=2，对任意的n∈N^*，a_n+2是a_n+1与a_n的等差中项．
（1）设b_n=a_n+1-a_n，证明数列{b_n}是等比数列，并求出其通项公式；
（2）写出数列{a_n}的通项公式（不要求计算过程），令，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer

（1）根据an+2是an+1与an的等差中项，可得2an+2=an+1+an，由bn=an+1-an，可得bn+1=an+2-an+1=-bn，从而可得数列{bn}是以1为首项，-为公比的等比数列，可求通项公式；
（2）利用累加法可得数列{an}的通项公式，进而可得=，利用错位相减法可求数列{cn}的前n项和．
【解析】
（1）∵an+2是an+1与an的等差中项．
∴2an+2=an+1+an，
∵bn=an+1-an，∴bn+1=an+2-an+1=（an+1+an）-an+1=-bn，
∵a1=1，a2=2，
∴b1=a2-a1=1
∴数列{bn}是以1为首项，-为公比的等比数列，通项公式为bn=；
（2）由（1）知，an+1-an=
∴an=a1+（a2-a1）+…+（an-an-1）=1+1+…+=
∴=
∴Sn=++…+①
∴Sn=++…+②
①-②可得Sn=1+++…+-=
∴数列{cn}的前n项和Sn=．