Question

已知向量=（-cos 2x，a），=（a，2-sin 2x），函数f（x）=•-5（a∈R，a≠0）．
（1）求函数f（x）（x∈R）的值域；
（2）当a=2时，若对任意的t∈R，函数y=f（x），x∈（t，t+b]的图象与直线y=-1有且仅有两个不同的交点，试确定b的值（不必证明），并求函数y=f（x）的在[0，b]上单调递增区间．

Answer

（1）利用向量的数量积公式，结合辅助角公式化简函数，利用，对a讨论，即可求得函数f（x）（x∈R）的值域；
（2）由题设函数y=f（x），x∈（t，t+b]的图象与直线y=-1有且仅有两个不同的交点及函数y=f（x）的最小正周期为π可知，b的值为π，利用正弦函数的单调性，可求函数y=f（x）在[0，π]上的单调递增区间．
【解析】
（1）f（x）=•-5==．…（2分）
因为x∈R，所以
当a＞0时，-2a×1+2a-5≤f（x）≤-2a×（-1）+2a-5．
所以f（x）的值域为[-5，4a-5]．…（4分）
同理，当a＜0时，f（x）的值域为[4a-5，-5]．…（6分）
（2）当a=2时，，由题设函数y=f（x），x∈（t，t+b]的图象与直线y=-1有且仅有两个不同的交点及函数y=f（x）的最小正周期为π可知，b的值为π．…（8分）
由，得．…（10分）
因为x∈[0，π]，所以k=0，
∴函数y=f（x）在[0，π]上的单调递增区间为．…（12分）