Question

设f（x）=|2-x²|，若0＜a＜b且f（a）=f（b），则a+b的取值范围是（ ）
A．（0，2）
B．（，2）
C．（2，4）
D．（2，2）

Answer

根据f（x）=|2-x2|，结合f（a）=f（b），得f（a）=2-a2且f（b）=b2-2，所以a2+b2=4，且0＜a＜b．令a=2cosα，b=2sinα，得a+b=2sin（α+），并且α，结合正弦函数的图象与性质，可得a+b的取值范围．
【解析】
∵f（x）=|2-x2|，0＜a＜b且f（a）=f（b），
∴0＜a＜b，且f（a）=2-a2，f（b）=b2-2，
因此，2-a2=b2-2，得a2+b2=4
令a=2cosα，b=2sinα，
因为0＜a＜b，所以α
则a+b=2cosα+2sinα=2sin（α+）
∵＜α+＜，
∴sin（α+）∈（，1），得2sin（α+）∈（2，2）
即a+b的取值范围是（2，2）
故选D