Question

已知函数f（x）=x²•e^ax，x∈R，其中e为自然对数的底数，a∈R．
（1）设a=-1，x∈[-1，1]，求函数y=f（x）的最值；
（2）若对于任意的a＞0，都有成立，x的取值范围．

Answer

（1）利用导数先求出函数的极值，再将他与端点值比较，最大的极为最大值，反之极为最小值
（2）原命题等价于对任意a＞0，恒成立，即对任意a＞0恒成立．将a分离出来得到，求出的最小值，
从而得到即可
解（1）当a=-1时，f（x）=x2•e-x，x∈[-1，1]，
f′（x）=2xe-x-x2e-x=-x（x-2）e-xf′（x）=0⇒x=0或x=2，
f（x），f′（x）随x变化情况如下表：

∴x∈[-1，1]时，fmax（x）=e，fmin（x）=0
（2）命题等价于对任意a＞0，x2•eax≤2x•eax+ax2•eax+恒成立，
即x2≤2x+ax2+对任意a＞0恒成立．
-3x，a+（a＞0）
又∵a＞0∴a+=2
只需≤2⇒x≤-2或x≥-1．
综上：x的取值范围为x≤-2或x≥-1．