Question

离心率为的双曲线C₁：-=1上的动点P到两焦点的距离之和的最小值为2，抛物线C₂：x²=2py（p＞0）的焦点与双曲线C₁的上顶点重合．
（Ⅰ）求抛物线C₂的方程；
（Ⅱ）过直线l：y=a（a为负常数）上任意一点M向抛物线C₂引两条切线，切点分别为AB，坐标原点O恒在以AB为直径的圆内，求实数a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）由已知可得双曲线焦距，由离心率，可求长轴长，从而可得双曲线的上顶点为（0，1），故可求抛物线C2的方程；
（Ⅱ）设M（m，a），A（），B（），求出切线方程，可得x1，x2是方程4a=2xm-x2的两个不同的根，利用韦达定理及坐标原点O恒在以AB为直径的圆内，可得不等式，从而可求实数a的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）由已知得双曲线焦距为2，离心率为，则长轴长为2，故双曲线的上顶点为（0，1），所以抛物线C2的方程为x2=4y；
（Ⅱ）设M（m，a），A（），B（），故直线MA的方程为，即，
所以，同理可得：，
即x1，x2是方程4a=2xm-x2的两个不同的根，所以x1x2=4a
∴x1x2+y1y2=x1x2+（x1x2）2=4a+a2
∵坐标原点O恒在以AB为直径的圆内，
∴4a+a2＜0，即-4＜a＜0．