Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n=2a_n-1+n-2．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）若数列{b_n}中b₂=4，前n项和为S_n，且4^S_n-n=（a_n+n）^b_n（n∈N^*）证明：．

Answer

（I）根据an=2an-1+n-2（n≥2），可得数列{an+n}是以首项a1+1，公比为2的等比数列，从而可求数列{an}的通项公式；
（II）利用4Sn-n=（an+n）bn（n∈N*），再写一式，两式相减可得2（bn+1-1）=（n+1）bn+1-nbn，同样再写一式，两式相减，可得{bn}是等差数列，进而可得bn=2n，由此可证结论．
（I）【解析】
∵an=2an-1+n-2（n≥2），∴an+n=2（an-1+n-1）
∴数列{an+n}是以首项a1+1，公比为2的等比数列，即an+n=2×2n-1=2n
∴an=2n-n
（II）证明：∵4Sn-n=（an+n）bn（n∈N*）
∴4Sn-n=2nbn，
∴2Sn-2n=nbn，…①
∴2Sn+1-2（n+1）=（n+1）bn+1，…②
②-①，得2（bn+1-1）=（n+1）bn+1-nbn，
∴（n-1）bn+1-nbn+2=0    …③
∴nbn+2-（n+1）bn+1+2=0 …④
④-③得nbn+2-2nbn+1+nbn=0
∴bn+2-2bn+1+bn=0
∴bn+2-bn+1=bn+1-bn
∴{bn}是等差数列．
∵b1=2，b2=4，∴bn=2n
∴＜1++…+=1+＜．