Question

已知椭圆的离心率为，且椭圆上的点到两个焦点的距离和为2．斜率为k（k≠0）的直线l过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M（0，m）．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求m的取值范围；
（Ⅲ）试用m表示△MPQ的面积，并求面积的最大值．

Answer

（Ⅰ）  根据椭圆的定义，椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于长轴长，就可求出a，再根据椭圆的离心率e=，就可求出c值，再结合椭圆中a，b，c的关系式求出b值，就可得到椭圆方程．
（Ⅱ）因为直线l斜率为k（k≠0）且过椭圆的上焦点，就可得到直线l的方程为y=kx+1，与椭圆方程联立，解得P，Q两点的横坐标之和，纵坐标之和，均用含k的式子表示，线段PQ的垂直平分线斜率等于直线l斜率的负倒数且过线段PQ的中点，就可以k为参数求出垂直平分线的点斜式方程，令x=0，解出M点的坐标，把m用含k的式子表示，根据k的范围求出m的范围．
（Ⅲ）y轴把△PQM分成了两个三角形，△PMF1和△QMF1所以△PQM的面积就是△PMF1和△QMF1的面积之和．△PMF1和△QMF1都可看做以MF1为底，高分别为P点和Q点的横坐标的绝对值，利用（Ⅱ）中得到的x1+x2，x1x2的值，就可把△PQM的面积用含m的式子表示，再利用导数求出最大值即可．
【解析】
（Ⅰ）椭圆上的点到两个焦点的距离和为2，即2a=2，∴a=
椭圆的离心率为，即e=
∵e=，∴，
∴c=1
又∵a2=b2+c2，∴b=1．
又斜率为k（k≠0）的直线l过椭圆的上焦点，即椭圆的焦点在Y轴上
∴椭圆方程为．
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+1，由可得（k2+2）x2+2kx-1=0．
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则△=8k2+8＞0
，．
．
设线段PQ中点为N，则点N的坐标为，
∵M（0，m），∴直线MN的斜率kMN=
∵直线MN为PQ的垂直平分线，∴kMN•k=-1，
可得．即，
又k≠0，∴k2+2＞2，
∴，即．
（Ⅲ）设椭圆上焦点为F，
∵y轴把△PQM分成了△PMF和△QMF，
∴=|FM||x1|+|FM||x2|=|FM|（|x1|+|x2|）
∵P，Q在y轴两侧，∴|x1|+|x2|=||（x1-x2）
∴，
∵，
由，可得．
∴．
又∵|FM|=1-m，∴．
∴△MPQ的面积为（）．
设f（m）=m（1-m）3，则f'（m）=（1-m）2（1-4m）．
可知f（m）在区间单调递增，在区间单调递减．
∴f（m）=m（1-m）3有最大值．此时∴△MPQ的面积为×=
∴△MPQ的面积有最大值．