Question

将1，2，3，…，n这n个数随机排成一列，得到的一列数a₁，a₂，…，a_n称为1，2，3，…，n的一个排列；定义τ（a₁，a₂，…，a_n）=|a₁-a₂|+|a₂-a₃|+…|a_n-1-a_n|为排列a₁，a₂，…，a_n的波动强度．
（Ⅰ）当n=3时，写出排列a₁，a₂，a₃的所有可能情况及所对应的波动强度；
（Ⅱ）当n=10时，求τ（a₁，a₂，…，a₁₀）的最大值，并指出所对应的一个排列；
（Ⅲ）当n=10时，在一个排列中交换相邻两数的位置称为一次调整，若要求每次调整时波动强度不增加，问对任意排列a₁，a₂，…，a₁₀，是否一定可以经过有限次调整使其波动强度降为9；若可以，给出调整方案，若不可以，请给出反例并加以说明．

Answer

（I）当n=3时，列举出所有的可能为1，2，3；1，3，2；2，1，3；2，3，1；3，1，2；3，2，1．根据所给的公式做出波动强度．
（II）要求的结果转化为±a1±a2±a2±a3±…±a9±a10，在上述18个±中，有9个选正号，9个选负号，其中a1，a10出现一次，a2，a3，…，a9各出现两次．使τ（a1，a2，…，a10）最大，应使第一个和最大，第二个和最小，得到结果．
（III）可以举例说明对任意排列a1，a2，…，a10，不可以经过有限次调整使其波动强度降为9．
【解析】
（Ⅰ）n=3时，排列a1，a2，a3的所有可能为1，2，3；1，3，2；2，1，3；2，3，1；3，1，2；3，2，1；…（2分）
τ（1，2，3）=2；τ（1，3，2）=3；τ（2，1，3）=3；
τ（2，3，1）=3；τ（3，1，2）=3；τ（3，2，1）=2．…（4分）
（Ⅱ）τ（a1，a2，…，a10）=|a1-a2|+|a2-a3|+…+|a9-a10|
上式转化为±a1±a2±a2±a3±…±a9±a10，
在上述18个±中，有9个选正号，9个选负号，其中a1，a10出现一次，a2，a3，…，a9各出现两次．…（6分）
所以τ（a1，a2，…，a10）可以表示为9个数的和减去9个数的和的形式，
若使τ（a1，a2，…，a10）最大，应使第一个和最大，第二个和最小．
所以τ（a1，a2，…，a10）最大为：（10+10+9+9+8+8+7+7+6）-（1+1+2+2+3+3+4+4+5）=49．…（8分）
所对应的一个排列为：5，7，1，8，2，9，3，10，4，6．（其他正确的排列同等给分） …（9分）
（Ⅲ）不可以．
例如排列10，9，8，7，1，2，3，4，5，6，除调整1，2外，其它调整都将使波动强度增加，
调整1，2波动强度不变．…（11分）
所以只能将排列10，9，8，7，1，2，3，4，5，6调整为排列10，9，8，7，2，1，3，4，5，6．
对于排列10，9，8，7，2，1，3，4，5，6，仍然是除调整2，1外，其它调整都将使波动强度增加，所以仍只能调整1，2两个数字．
如此不断循环下去，不可能经过有限次调整使其波动强度降为9．…（13分）