Question

学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）
（Ⅰ）求在1次游戏中，
（i）摸出3个白球的概率；
（ii）获奖的概率；
（Ⅱ）求在2次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望E（X）．

Answer

（I）（i）甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，事件数是C52C32，摸出3个白球事件数为
C32C21C21；由古典概型公式，代入数据得到结果，（ii）获奖包含摸出2个白球和摸出3个白球，且它们互斥，根据（i）求出摸出2个白球的概率，再相加即可求得结果，注意运算要正确，因为第二问要用本问的结果．（II）连在2次游戏中获奖次数X的取值是0、1、2，根据上面的结果，代入公式得到结果，写出分布列，求出数学期望．
【解析】
（Ⅰ）（i）设“在一次游戏中摸出i个白球”为事件Ai（i=，0，1，2，3），则
P（A3）=，
（ii）设“在一次游戏中获奖”为事件B，则B=A2∪A3，又
P（A2）=，
且A2、A3互斥，所以P（B）=P（A2）+P（A3）=；
（Ⅱ）由题意可知X的所有可能取值为0，1，2．
P（X=0）=（1-）2=，
P（X=1）=C21（1-）=，
P（X=2）=（）2=，
所以X的分布列是

X的数学期望E（X）=0×．