Question

已知抛物线D的顶点是椭圆的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合．
（Ⅰ）求抛物线D的方程；
（Ⅱ）已知动直线l过点P（4，0），交抛物线D于A、B两点．（i）若直线l的斜率为1，求AB的长；（ii）是否存在垂直于x轴的直线m被以AP为直径的圆M所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出m的方程；如果不存在，说明理由．

Answer

（Ⅰ）根据抛物线D的顶点是椭圆的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合，设出抛物线方程，即可求得抛物线D的方程；
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．（i）直线l的方程代入抛物线方程，利用韦达定理可求|AB|；
（ⅱ） 设存在直线m：x=a满足题意，则圆心，过M作直线x=a的垂线，垂足为E，设直线m与圆M的一个交点为G，可得：|EG|2=|MG|2-|ME|2=，由此可得结论．
【解析】
（Ⅰ）由题意，可设抛物线方程为y2=2px（p＞0）．…（1分）
椭圆中a2-b2=4-3=1，得c=1，∴抛物线的焦点为（1，0），
∴=1，∴p=2，∴抛物线D的方程为y2=4x．…（3分）
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．
（i）直线l的方程为：y=x-4，…（4分）
联立，整理得：x2-12x+16=0…（5分）
∴x1+x2=12，x1x2=16
∴|AB|==．…（7分）
（ⅱ） 设存在直线m：x=a满足题意，则圆心，过M作直线x=a的垂线，垂足为E，设直线m与圆M的一个交点为G，可得：|EG|2=|MG|2-|ME|2，…（9分）
即|EG|2=|MA|2-|ME|2=
=
==…（11分）
当a=3时，|EG|2=3，此时直线m被以AP为直径的圆M所截得的弦长恒为定值．…（12分）
因此存在直线m：x=3满足题意                        …（13分）