Question

已知关于n的不等式2n²-n-3＜（5-λ）（n+1）2ⁿ对任意n∈N^*恒成立，则实数λ的取值范围是    ．

Answer

根据不等式的基本性质，将原不等式转化为：5-λ＞对任意n∈N*恒成立，通过研究右边式子的单调性，可得当n=3时，右边的最大值为，从而5-λ＞，解之即得λ的取值范围．
【解析】
∵n∈N*，∴n+1＞0
在不等式2n2-n-3＜（5-λ）（n+1）2n两边都除以n+1，得
2n-3＜（5-λ）2n对任意n∈N*恒成立，即5-λ＞
设f（n）=，可得
当n=1时，=-＜0
当n≥2时，＞0，=•=
可得=＞1，=＜1，=＜1，…
由此可得，f（2）＜f（3），f（3）＞f（4），f（4）＞f（5），…
∴f（n）的最大值为f（3）=，
要使原不等式对任意n∈N*恒成立，必须5-λ＞，解之得λ＜
故答案为：λ＜