Question

如图，ABCD是边长为4的正方形，动点P在以AB为直径的圆弧APB上，则的取值范围是    ．

Answer

以AB中点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立如图坐标系，可得C（2，4），D（-2，4），P（2cosα，2sinα），得到、坐标，用向量数量积的坐标公式化简，得=16-16sinα，再结合α∈[0，π]，不难得到的取值范围．
【解析】
以AB中点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立如图坐标系
则圆弧APB方程为x2+y2=4，（y≥0），C（2，4），D（-2，4）
因此设P（2cosα，2sinα），α∈[0，π]
∴=（2-2cosα，4-2sinα），=（-2-2cosα，4-2sinα），
由此可得=（2-2cosα）（-2-2cosα）+（4-2sinα）（4-2sinα）
=4cos2α-4+16-16sinα+4sin2α=16-16sinα
化简得=16-16sinα
∵α∈[0，π]，sinα∈[0，1]
∴当α=0或π时，取最大值为16；当α=时，取最小值为0．
由此可得的取值范围是[0，16]
故答案为：[0，16]