Question

已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n+a_n=1．
（I） 求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}满足b_n=（n-2）a_n，且数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：数列{2ⁿT_n}为等差数列．

Answer

（Ⅰ）由Sn+an=1，Sn-1+an-1=1，得Sn-Sn-1+an-an-1=0（n≥2），所以（n≥2），由此能求出数列{an}的通项公式．
（Ⅱ），对数列{bn}进行错位相减法得到，由此能够证明数列{2nTn}为等差数列．
【解析】
（Ⅰ）由Sn+an=1，
得Sn-1+an-1=1，
两式相减得Sn-Sn-1+an-an-1=0（n≥2），
又由Sn-Sn-1=an，
得（n≥2），
∵S1+a1=2a1=1，∴，
∴；…（7分）
（Ⅱ）∵数列{bn}满足bn=（n-2）an，
∴，
∴数列{bn}的前n项和为Tn=+++…+，①
+…+，②
①-②，得到，
∴2nTn=-n，
∴数列{2nTn}就是数列{-n}，是一个等差数列．…（14分）