Question

已知椭圆E：，设该椭圆上的点到左焦点F（-c，0）的最大距离为d₁，到右顶点A（a，0）的最大距离为d₂．
（Ⅰ） 若d₁=3，d₂=4，求椭圆E的方程；
（Ⅱ） 设该椭圆上的点到上顶点B（0，b）的最大距离为d₃，求证：．

Answer

（Ⅰ）由题设，知，由此能求出椭圆E的方程．
（Ⅱ）椭圆上任意一点P（acosθ，bsinθ），则点P到上顶点B（0，b）的距离为|PB|，，先构造二次函数f（t）=-c2t2-2b2t+a2+b2（-1≤t≤1），再由分类讨论思想能求出椭圆上的点到上顶点的最大距离．
（Ⅰ）【解析】
由题，知，
∴椭圆E的方程为；…（5分）
（Ⅱ）证明：椭圆上任意一点P（acosθ，bsinθ），
则点P到上顶点B（0，b）的距离为|PB|，，
构造二次函数f（t）=-c2t2-2b2t+a2+b2（-1≤t≤1），
其对称轴方程为．
1°当，
即b2＞c2时，f（t）≤f（-1）=4b2，
此时，
而，从而；
2°当，即b2≤c2时，
，
此时；
综上所述椭圆上任意一点到上顶点的距离都小于等于，
所以椭圆上的点到上顶点的最大距离．…（15分）