Question

设函数f（x）=ax²+bx+clnx，（其中a，b，c为实常数且a＞0），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=3x-3．
（Ⅰ） 若函数f（x）无极值点且f'（x）存在零点，求a，b，c的值；
（Ⅱ） 若函数f（x）有两个极值点，证明f（x）的极小值小于．

Answer

（Ⅰ）求导函数，利用曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=3x-3，建立方程组，根据即f（x）无极值点且f'（x）存在零点，可求a的值，进而可求b，c的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，要使函数f（x）有两个极值点，只要方程2ax2-ax+3-a=0有两个不等正根，可得a的范围，设两正根为x1，x2，且x1＜x2，可知当x=x2时，有极小值f（x2），证明f（x2）在上单调递增，即可证得结论．
（Ⅰ）【解析】
求导函数可得，
由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=3x-3，可得得，
即，∴．
此时f（x）=ax2-ax+（3-a）lnx，；
由f（x）无极值点且f'（x）存在零点，得a2-8a（3-a）=0（a＞0）
解得，于是，．…（7分）
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，要使函数f（x）有两个极值点，只要方程2ax2-ax+3-a=0有两个不等正根，
那么实数a应满足 ，解得，
设两正根为x1，x2，且x1＜x2，可知当x=x2时，有极小值f（x2）．
其中这里，由于对称轴为，所以，且，得
记g（x）=x2-x-lnx，，有对恒成立，
又g（1）=0，故对恒有g（x）＞g（1），即g（x）＞0．
所以有=
而对于恒成立，
即f（x2）在上单调递增，故．…（15分）