Question

有一种舞台灯，外形是正六棱柱，在其每一个侧面（编号为①②③④⑤⑥）上安装5只颜色各异的灯，假若每只灯正常发光的概率为0.5．若一个侧面上至少有3只灯发光，则不需要更换这个面，否则需要更换这个面，假定更换一个面需要100元，用ξ表示更换费用．
（1）求①号面需要更换的概率；
（2）求6个面中恰好有2个面需要更换的概率；
（3）写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．

Answer

（1）根据所给的条件可以判断本题是一个独立重复试验，由题意知①号面不需要更换的对立事件是①号面需要更换，根据对立事件的概率得到结果．
（2）由题意知本题满足独立重复试验，根据独立重复试验，得到6个面中恰好有2个面需要更换的概率．
（3）由题意知本题的变量符合二项分布，结合二项分布的概率公式得到分布列和期望，用公式来解比用一般的方法要简单得多．
【解析】
（1）由题意知①号面不需要更换的对立事件是①号面需要更换，
∵①号面不需要更换的概率为，
∴①号面需要更换的概率为．
（2）根据独立重复试验，6个面中恰好有2个面需要更换的概率为
．
（3）∵ξ～，
又，，
，，
，，
，
∴维修一次的费用ξ的分布为：

∵ξ～，
∴元．