Question

在平面直角坐标系x0y中，已知以O为圆心的圆与直线l：y=mx+（3-4m）（m∈R）恒有公共点，且要求使圆O的面积最小．
（1）证明直线过定点M，求出此点的坐标及圆O的方程；
（2）已知定点Q（-4，3），直线l与圆O交于M、N两点，试判断×tan∠MQN是否有最大值，若存在求出最大值，并求出此时直线l的方程，若不存在，给出理由．
（3）圆O与x轴相交于A、B两点，圆内动点P使||、||、||成等比数列，求的范围．

Answer

（1）依题意可知直线过定点，要求使圆O的面积最小，则定点在圆上，求出半径即可求圆的方程；
（2）利用×tan∠MQN，可得到等价关系即三角形面积，容易确定圆上的点到已知线段的最大距离，可求出直线l的方程；
（3）求出A、B两点的坐标，设P的坐标，利用||、||、||成等比数列，得到相等关系式，P在圆内，得到不等式，从而可求数量积的范围．
【解析】
（1）因为直线l：y=mx+（3-4m）过定点T（4，3）
由题意，要使圆O的面积最小，定点T（4，3）在圆上，所以圆O的方程为x2+y2=25；
（2）存在直线方程2x-y-5=0，符合题意，理由如下
×tan∠MQN=×sin∠MQN=2S△MQN
由题意，得直线l与圆O的一个交点为M（4，3），又知定点Q（-4，3），
∴直线lMQ：y=3，|MQ|=8，∴当N（0，-5）时，S△MQN有最大值32．
即×tan∠MQN有最大值为64，此时直线l的方程为2x-y-5=0．
（3）A（-5，0），B（5，0），设P（x，y），则x2+y2＜25   ①
由||、||、||成等比数列，得||2=||•||，
∵=（-5-x，-y），=（5-x，-y），
∴x2+y2=•，整理得：x2-y2=，即x2=y2+②
由①②得：0≤y2＜，
∴=（x2-25）+y2=2y2-
∴∈[，0）．