Question

选修4-5；不等式选讲
已知f（x）=x|x-a|-2
（1）当a=1时，解不等式f（x）＜|x-2|；
（2）当x∈（0，1]时，f（x）＜x²-1恒成立，求实数a的取值范围．

Answer

（1）利用a=1，化简不等式，通过x≥2，1≤x＜2，x＜1分别去掉绝对值符号，然后求解不等式即可．
（2）当x∈（0，1]时，f（x）＜x2-1恒成立，转化为a的表达式，通过函数的单调性以及基本不等式求出表达式的最值，得到a的范围．
【解析】
（1）a=1，f（x）＜|x-2|，x|x-1|-2＜|x-2|．
①当x≥2时，上式化为x（x-1）-2＜x-2，又x≥2，∴x∈∅；
②当1≤x＜2时，由x|x-1|-2＜|x-2|．可得x（x-1）-2＜2-x，解得-2＜x＜2又1≤x＜2
∴1≤x＜2．
③当x＜1时，x|x-1|-2＜|x-2|．可得x（1-x）-2＜2-x，解得x＜1，
综上不等式的解集为：{x|x＜2}．
（2）当x∈（0，1]时，f（x）＜即x|x-a|-2＜恒成立，
即在x∈（0，1]上恒成立．
而g（x）=，在（0，1]上为增函数，所以g（x）max=g（1）=-．．
h（x）=≥2=．当且仅当，即x=时取等号．
故a．